Question

7．f（α）=$\frac{cos（\frac{π}{2}-α）cos（8π-α）tan（-α+5π）}{tan（3π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}$
（1）化简f（α）；
（2）若$α∈（0，\frac{π}{3}）$且sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系求得cos（$α+\frac{π}{6}$）的值，再利用两角和差的正弦求得f（α）=-sinα=-sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{cos（\frac{π}{2}-α）cos（8π-α）tan（-α+5π）}{tan（3π+α）sin（\frac{5π}{2}+α）}$=$\frac{sinα•cosα•（-tanα）}{tanα•cosα}$=$\frac{{-sin}^{2}α}{sinα}$=-sinα．
（2）若$α∈（0，\frac{π}{3}）$且sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{4}{5}$，∴cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴f（α）=-sinα=-sin[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=-sin（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{4}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{3}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式进行化简求值，属于基础题．