Question

6．函数f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）与g（x）=cosωx的部分图象如图所示．
（1）求A，a，b的值及函数f（x）的递增区间；
2）若函数y=g（x-m）（m＞π）与y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的图象的对称轴完全相同，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据g（x）=cosωx的部分图象的周期性求得ω，由函数f（x）的图象的顶点坐标求出A，由周期求出a、b的值，由正弦函数的单调性求得函数f（x）的递增区间．
（2）先化简g（x-m）、y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的解析式，再结合正弦函数、余弦函数的图象特征，求得m的最小值．

解答 解：（1）根据g（x）=cosωx的部分图象可得ω•$\frac{π}{2}$=π，∴ω=2．
再根据函数f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1（A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A=$\frac{3-（-1）}{2}$=2，
$\frac{1}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{4}$=b-a，ωa-$\frac{π}{3}$=2a-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，ωb-$\frac{π}{3}$=2b-$\frac{π}{3}$=π．∴a=$\frac{5π}{12}$，b=$\frac{2π}{3}$，
∴f（x）=Asin（$ωx-\frac{π}{3}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
可得函数f（x）的增区间为[得kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵函数y=g（x-m）=cos（2x-2m）（m＞π），
y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+2sin（2x-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+2-2cos（2x-$\frac{π}{3}$）
=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）+2=2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{7π}{12}$）+2=-2$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{12}$），
函数y=g（x-m）（m＞π）与y=f（x）+f（x-$\frac{π}{4}$）的图象的对称轴完全相同，
故这两个函数的图象最少相差半个周期，即2m=k•$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，即m=k•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{24}$，
故当m＞π时，令k=4，可得它的最小值为$\frac{25π}{24}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，正弦函数、余弦函数的图象特征，属于中档题．