Question

10．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$．
（1）求数列{b_n}中前四项；
（2）求证：数列{b_n}是等差数列；
（3）若c_n=（a_n+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ，试判断数列{c_n}是否有最小值，若有最小项，求出最小项．

Answer 1

分析 （1）由代入法，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，即可得到b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）当n≥2，n∈N^*，将n换为n-1，可得b_n=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1+b_n-1，由等差数列的定义，即可得证；
（3）求得b_n=n-$\frac{5}{2}$，即有a_n=$\frac{2n-3}{2n-5}$，c_n=$\frac{6n-13}{2n-5}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ．计算$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1，讨论n的取值，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$，
a₁=$\frac{1}{3}$，可得b₁=$\frac{1}{\frac{1}{3}-1}$=-$\frac{3}{2}$，
a₂=2-3=-1，
b₂=$\frac{1}{{a}_{2}-1}$=-$\frac{1}{2}$，
a₃=2-（-1）=3，
b₃=$\frac{1}{{a}_{3}-1}$=$\frac{1}{2}$，
a₄=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
b₄=$\frac{1}{{a}_{4}-1}$=$\frac{3}{2}$；
（2）证明：a_n+1=$\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），
当n≥2，n∈N^*，
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=$\frac{1}{2-\frac{1}{{a}_{n-1}}-1}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{a}_{n-1}}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-1}$
=1+$\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=1+b_n-1，
则数列{b_n}是首项为-$\frac{3}{2}$，公差为1的等差数列；
（3）由（2）可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=-$\frac{3}{2}$+n-1=n-$\frac{5}{2}$，
即有a_n=1+$\frac{2}{2n-5}$=$\frac{2n-3}{2n-5}$，
c_n=（a_n+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ=（$\frac{2n-3}{2n-5}$+2）（$\frac{10}{9}$）ⁿ=$\frac{6n-13}{2n-5}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ．
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1=$\frac{6n-7}{2n-3}$•（$\frac{10}{9}$）ⁿ⁺¹•$\frac{2n-5}{6n-13}$•（$\frac{9}{10}$）ⁿ-1
=$\frac{12{n}^{2}-44n-1}{9（2n-3）（6n-13）}$，
当n=1时，$\frac{{c}_{2}}{{c}_{1}}$＜1，而c₁＞0，则c₂＜c₁，
当n=2时，$\frac{{c}_{3}}{{c}_{2}}$-1＞0，由c₂＞0，则c₃＞c₂，
当n=3时，$\frac{{c}_{4}}{{c}_{3}}$-1＜0，由c₃＞0，则c₄＜c₃，
当n=4时，$\frac{{c}_{5}}{{c}_{4}}$-1＞0，由c₄＞0，则c₄＜c₅，
当n≥5时，$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$-1＞0，即有c_n＜c_n+1．
则c₁＞c₂＜c₃＞c₄＜c₅＜c₆＜…＜c_n＜c_n+1．
由c₂-c₄=（$\frac{10}{9}$）²-$\frac{11}{3}$•（$\frac{10}{9}$）⁴＜0，
即有c₂＜c₄．
则数列{c_n}有最小值，且为c₂=$\frac{100}{81}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造法，考查等差数列的定义以及通项公式的运用，考查数列中的大小关系，注意运用作差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．