Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
（1）若f（x）在定义域内为增函数，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设函数g（x）=

e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，利用f（x）在定义域内为增函数，可得f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

0在（0，+∞）上恒成立，分离参数，求出右边的最大值，即可求a的取值范围；
（2）在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，等价于f（x）_max≥g（x）_min，可得f（e）≥g（e），即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
∴f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

，
∵f（x）在定义域内为增函数，
∴f′（x）=a+a•

1

x2

-

1

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴a≥

1

x+ 1 x

在（0，+∞）上恒成立，
∵x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

；
（2）在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，等价于f（x）_max≥g（x）_min，
∴f（e）≥g（e），
∴a（e-

1

e

）-lne≥1，
∴a≥

2e

e2-1

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最大值，考查小时分析解决问题的能力，属于中档题．