Question

已知函数f(x)=lnax+bx+

a

x

（a、b为常数），在x=-1时取得极值．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当a=-1时，关于x的方程f（x）=2x+m有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）数列{a_n}满足an=1-

1

an-1+1

（n∈N^*且n≥2），a1=

1

2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：2n•an≥eSn+an-1（n∈N^*，e是自然对数的底）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,数列与不等式的综合

专题：导数的综合应用

分析：（1）注意到题目中f（x）在x=-1有定义，初步判断a＜0；另外，根据f′（-1）=0且-1是其极值点，列出等式，用b表示a代入计算；
（2）结合着定义域，原题可转化成方程ln(-x)-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有两个不等实根．令-x=t，则问题又进一步转化为方程lnt+

1

t

+2t=m在（0，+∞）上有两个不等实根，再通过求导的方法对函数g(x)=lnx+

1

x

+2x进一步研究．
（3）首先由数列的递推关系式求出数列{a_n}的通项公式，再利用（2）中的结论，即g(x)=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，其中，令x=

n

n+1

，代入不等式，进行化简计算，累加，即可证明原不等式．

解答： 解：（1）f′(x)=

1

x

+b-

a

x2

=

bx2+x-a

x2

，
∵f（x）在x=-1有定义∴a＜0．
由题意知，x=-1是方程

bx2+x-a

x2

=0的根，且不是重根．
∴b=a+1且1+4ab≠0，
又∵a＜0，∴b＜1且b≠

1

2

；
（2）a=-1时  b=a+1=0即方程ln(-x)-

1

x

=2x+m在（-∞，0）上有两个不等实根．
即方程lnx+

1

x

+2x=m在（0，+∞）上有两个不等实根．
令g(x)=lnx+

1

x

+2x（x＞0）g′(x)=

1

x

-

1

x2

+2=

2x2+x-1

x2

（x＞0）
∴g（x）在(0，

1

2

]上单调递减，在[

1

2

，+∞)上单调递增，
∴当x=

1

2

时，g（x）_min=g(

1

2

)=3-ln2．
又当x→0时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→+∞，
∴当m＞3-ln2时，方程f（x）=2x+m有两个不相等的实数根．
（3）an=1-

1

an-1+1

，∴an=

an-1

an-1+1

，

1

an

=1+

1

an-1

，
∴{

1

an

}是以2为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=n+1．
∴an=

1

n+1

．
由（2）知g(x)=lnx+

1

x

+2x≥3-ln2，
令x=

n

n+1

得：ln

n

n+1

+

n+1

n

+

2n

n+1

≥3-ln2，即ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
∴ln

1

2

+ln2≥

2

2

-

1

1

，ln

2

3

+ln2≥

2

3

-

1

2

，
…，
ln

n

n+1

+ln2≥

2

n+1

-

1

n

，
累加得，ln

1

n+1

+nln2≥

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

+

1

n+1

-1=Sn+an-1，
即lnan+ln2n≥Sn+an-1
∴an•2n≥eSn+an-1．

点评：本题是学生容易做错的类型特别是第一小问中的a＜0和1+4ab≠0，往往是他们最容易忽视的范围，第二问依旧是在第一问的基础上，将问题转化成我们更为熟悉的内容；最后一问更是综合性比较强，应该说是数列和不等式的综合应用，难度较大，特别是将（2）中的结论应用于该数列，对x的赋值，比较困难，包括后面的化简，也是需要比较高的观察分析能力和计算能力．