Question

已知函数φ（x）=

a

x+1

，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=

9

2

，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有

g(x2)-g(x1)

x 2-x 1

＜-1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,对数函数图象与性质的综合应用

专题：综合题,分类讨论,函数思想,导数的综合应用

分析：（1）对f（x）求导，利用f′（x）＞0判断函数单调增，f′（x）＜0函数单调减，求出单调区间；
（2）由题意，构造函数h（x）=g（x）+x，根据h（x）在（0，2]上的单调性，再利用导数讨论h（x）的单调性与最值问题，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=lnx+φ（x）=lnx+

a

x+1

，（x＞0）；
∴f′（x）=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，
当a=

9

2

时，令f′（x）＞0，即x²-

5

2

x+1＞0，
解得x＞2，或x＜

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，

1

2

），（2，+∞），单调减区间为（

1

2

，2）；---5分（注：两个单调增区间，错一个扣1分）
（2）∵

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＜-1，∴

g(x2)-g(x1)

x2-x1

+1＜0，
即

g(x2)+x2-[g(x1)+x1]

x2-x1

＜0；
设h（x）=g（x）+x，依题意，h（x）在（0，2]上是减函数；---8分
当1≤x≤2时，h（x）=lnx+

a

x+1

+x，h′（x）=

1

x

-

a

(x+1)2

+1；
令h′（x）≤0，解得a≥

(x+1)2

x

+（x+1）²=x²+3x+

1

x

+3对x∈[1，2]时恒成立；
设m（x）=x²+3x+

1

x

+3，则m′（x）=2x+3-

1

x2

，
∵1≤x≤2，∴m′（x）=2x+3-

1

x2

＞0，
∴m（x）在[1，2]上是增函数，则当x=2时，m（x）的最大值为

27

2

，∴a≥

27

2

；…11分
当0＜x＜1时，h（x）=-lnx+

a

x+1

+x，h′（x）=-

1

x

-

a

(x+1)2

+1，
令h′（x）≤0，解得a≥-

(x+1)2

x

+（x+1）²=x²+x-

1

x

-1，
设t（x）=x²+x-

1

x

-1，则t′（x）=2x+1+

1

x2

＞0，
∴t（x）在（0，1）上是增函数，∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0；---13分
综上所述，a的取值范围{a|a≥

27

2

}．---14分

点评：本题考查了导数的综合应用问题，也考查了构造函数来研究函数的单调性与最值问题和分类讨论思想，是综合性题目．