Question

已知向量

a

=（cos

3

2

x，sin

3

2

x），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），

c

=（1，-1），其中x∈[-

π

2

，

π

2

]．
（1）求证：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）设函数f（x）=（|

a

+

c

|²-3）（|

b

+

c

|²-3），求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,数量积判断两个平面向量的垂直关系,三角函数的最值

专题：平面向量及应用

分析：（1）由题意可证（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，即可得结论；
（2）由题意可得

a

+

c

与

b

+

c

，进而可得|

a

+

c

|²-3和|

b

+

c

|²-3的表达式，进而可得f（x）=-8（sinx+

1

4

）²+

9

2

，由二次函数区间的最值可得．

解答： 解：（1）由题意可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2
=（cos²

3

2

x+sin²

3

2

x）-（cos²

x

2

+sin²

x

2

）=1-1=0；
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）由题意可得

a

+

c

=（cos

3

2

x+1，sin

3

2

x-1），

b

+

c

=（cos

x

2

+1，-sin

x

2

-1），
∴|

a

+

c

|²-3=（cos

3

2

x+1）²+（sin

3

2

x-1）²-3=2cos

3

2

x-2sin

3

2

x，
同理可得|

b

+

c

|²-3=2cos

x

2

+2sin

x

2

，
∴f（x）=（|

a

+

c

|²-3）（|

b

+

c

|²-3）
=（2cos

3

2

x-2sin

3

2

x）（2cos

x

2

+2sin

x

2

）
=4（cos

3

2

xcos

x

2

+cos

3

2

xsin

x

2

-sin

3

2

xcos

x

2

-sin

3

2

xsin

x

2

）
=4（cos2x-sinx）=-8sin²x-4sinx+4
=-8（sinx+

1

4

）²+

9

2

由二次函数的知识可知：
当sinx=-

1

4

时，f（x）取最大值

9

2

，
当sinx=1时，f（x）取最小值-8

点评：本题考查向量和三角函数的综合应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．