Question

14．已知钝角三角形的三边长度从小到大构成公比为q的等比数列，则q²的取值范围是$（\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 由于钝角三角形的三边长度从小到大构成公比为q的等比数列，因此可设此三边为：1，q，q²（q＞1），则cosα=$\frac{1+{q}^{2}-{q}^{4}}{2q}$＜0，cosβ=$\frac{1+{q}^{4}-{q}^{2}}{2{q}^{2}}$＞0，1+q＞q²，解出即可得出．

解答 解：由于钝角三角形的三边长度从小到大构成公比为q的等比数列，因此可设此三边为：1，q，q²．（q＞1）．
则cosα=$\frac{1+{q}^{2}-{q}^{4}}{2q}$＜0，cosβ=$\frac{1+{q}^{4}-{q}^{2}}{2{q}^{2}}$＞0，1+q＞q²，
可得：q⁴-q²-1＞0，q⁴-q²+1＞0，q²-q-1＜0，（q＞1）．
解得q²＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，恒成立，$1＜q＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（即$1＜{q}^{2}＜\frac{3+\sqrt{5}}{2}$）．
∴$\frac{1+\sqrt{5}}{2}＜{q}^{2}$＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$（\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、不等式的解法、余弦定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．