Question

3．某工厂为了解用电量y与气温x℃之间的关系，随机统计了5天的用电量与当天平均气温，得到如下统计表：

日期	8月1日	8月7日	8月14日	8月18日	8月25日
平均气温（℃）	33	30	32	30	25
用电量（万度）	38	35	41	36	30

$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$
（1）请根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程，据气象预报9月3日的平均气温是23℃，请预测9月3日的用电量；（结果保留整数）
（2）从表中任选两天，求用电量（万度）都超过35的概率．

Answer 1

分析 （1）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出回归方程，计算x=23时$\stackrel{∧}{y}$的值；
（2）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值．

解答 解：（1）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（33+30+32+30+25）=30，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（38+35+41+36+30）=36；
又$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=5446，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=4538，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}-5{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{5446-5×30×36}{4538-5{×30}^{2}}$=$\frac{23}{19}$，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=36-$\frac{23}{19}$×30=-$\frac{6}{19}$，
∴y关于x的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$x-$\frac{6}{19}$；
当x=23时，$\stackrel{∧}{y}$=$\frac{23}{19}$×23-$\frac{6}{19}$=$\frac{523}{19}$≈27.53，
据此模型预测9月3日的用电量约为28万度；
（2）分别记这5天为A、B、C、D、E，从中任选2天，
基本事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种，
其中用电量（万度）都超过35的有AC、AD、CD共3种，
故所求的概率为P=$\frac{3}{10}$．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是中档题．