Question

2．设函数f（x）=x²-ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）当a≥-1时，记f（x）的极小值为H，求H的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f}^{'}（x）=\frac{2{x}^{2}-ax-1}{x}$，（x＞0），由题意知f′（1）=1，由此能求出a．
（Ⅱ）设f′（x₀）=0，则$2{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-1=0$，从而$2{{x}_{0}}^{2}-1=a{x}_{0}$，进而f（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，则H=f（x）_极小值=$-{{x}_{0}}^{2}+1-ln{x}_{0}$，设g（a）=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$（a≥-1），利用导数性质能求出f（x）极小值H的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²-ax-lnx，a∈R，∴${f}^{'}（x）=\frac{2{x}^{2}-ax-1}{x}$，（x＞0），
由题意知f′（1）=1，解得a=0．
（Ⅱ）设f′（x₀）=0，则$2{{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-1=0$，
则${x}_{0}=\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$，∴$2{{x}_{0}}^{2}-1=a{x}_{0}$，
∴f（x）在（0，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
则H=f（x）_极小值=f（x₀）=${{x}_{0}}^{2}-a{x}_{0}-ln{x}_{0}$=$-{{x}_{0}}^{2}+1-ln{x}_{0}$，
设g（a）=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+8}}{4}$（a≥-1），
当a≥0时，g（a）为增函数，
当-1≤a≤0时，g（a）=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+8}-a}$，此时g（a）为增函数，
∴${x}_{0}≥h（-1）=\frac{1}{2}$，
∴函数y=-x²+1-lnx在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）极小值H的最大值为$\frac{3}{4}+ln2$．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的极小值的最大值的求法，考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，着重考查运算求解能力及推理论证能力，是中档题．