Question

3．设f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则f（0）=0是F（x）在x=0处可导的（　　）

• A． 充分必要条件
• B． 充分条件但非必要条件
• C． 必要条件但非充分条件
• D． 既非充分条件又非必要条件

Answer 1

分析 由f（0）=0可得$\underset{lim}{x→0}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）（1+|sinx|）}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$=f′（0）；
若F（x）在x=0处可导，当x在0的左侧附近时，F′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，当x在0的右侧附近时，F′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，从而可得$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）-f（0），$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）+f（0），从而可得f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），从而解得．

解答 解：∵f（0）=0，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）（1+|sinx|）}{x}$
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x}$=f′（0），
故F（x）在x=0处可导；
若F（x）在x=0处可导，
当x在0的左侧附近时，
F（x）=f（x）（1-sinx），
F′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，
当x在0的右侧附近时，
F（x）=f（x）（1+sinx），
F′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，
故$\underset{lim}{x→{0}^{-}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）-f（0），
$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$$\frac{F（x）-F（0）}{x}$=f′（0）+f（0），
∴f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），
∴f（0）=0；
故选：A．

点评 本题考查了导数的概念及左右极限的应用．