Question

14．已知F为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，A、B分别为椭圆C的左、上顶点，若BF的垂直平分线恰好过点A，则椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用线段垂直平分线的性质可得线段BF的垂直平分线的方程，进而得出．

解答 解：由已知可得：A（-a，0），B（0，b），F（c，0），
线段BF的中点M$（\frac{c}{2}，\frac{b}{2}）$，k_BF=$-\frac{b}{c}$，可得线段BF的垂直平分线的斜率为$\frac{c}{b}$．
∴线段BF的垂直平分线的方程为：y-$\frac{b}{2}$=$\frac{c}{b}$$（x-\frac{c}{2}）$，
∵BF的垂直平分线恰好过点A，
∴0-$\frac{b}{2}$=$\frac{c}{b}$$（-a-\frac{c}{2}）$，
化为：2e²+2e-1=0，
解得e=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．