Question

8．如图，B（-c，0），C（c，0），AH⊥BC，垂足为H，且$\overrightarrow{BH}$=3$\overrightarrow{HC}$．又$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，且A、D同在B、C为焦点的椭圆上，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 由题意得到H的横坐标，设出A的坐标，再由$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，把D的坐标用A的坐标表示，然后分别把A，D的坐标代入椭圆方程，联立消去A的纵坐标求得椭圆的离心率．

解答 解：∵B（-c，0），C（c，0），
∴由$\overrightarrow{BH}$=3$\overrightarrow{HC}$，解出H（$\frac{c}{2}$，0），
∵AH⊥BC，可设A（$\frac{c}{2}$，y₀），
再设D（x₁，y₁），
$\overrightarrow{AD}=（{x}_{1}-\frac{c}{2}，{y}_{1}-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{DB}=（-c-{x}_{1}，-{y}_{1}）$．
又$\overrightarrow{AD}$=-4$\overrightarrow{DB}$，
∴$（{x}_{1}-\frac{c}{2}，{y}_{1}-{y}_{0}）=（4c+4{x}_{1}，4{y}_{1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-\frac{c}{2}=4c+4{x}_{1}}\\{{y}_{1}-{y}_{0}=4{y}_{1}}\end{array}\right.$，
解得：D（$-\frac{3c}{2}$，$-\frac{{y}_{0}}{3}$），
将A（$\frac{c}{2}$，y₀），D（$-\frac{3c}{2}$，$-\frac{{y}_{0}}{3}$）代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y₀得：$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题给出三角形满足的几何关系和向量等式，求椭圆的离心率．着重考查了向量的坐标运算、向量的数量积和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．