Question

16．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意x都满足f（x+1）=-f（x），且当0≤x＜1时，f（x）=x，则函数g（x）=f（x）-ln|x|的零点个数为3个．

Answer 1

分析 根据题意，函数g（x）=f（x）-ln|x|的零点个数即函数y=f（x）的图象与函数y=ln|x|的图象交点的个数；进而根据题意，分析函数y=f（x）的周期与解析式，再由函数图象变换的规律分析函数y=ln|x|的图象，在同一坐标系中做出y=f（x）的图象与y=ln|x|的图象，即可得其图象交点的个数，即可得答案．

解答 解：根据题意，函数g（x）=f（x）-ln|x|的零点个数即函数y=f（x）的图象与函数y=ln|x|的图象交点的个数；
对于f（x）有f（x+1）=-f（x），
设-1≤x＜0，则0≤x+1＜1，此时有f（x）=-f（x+1）=-（x+1），
又由f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函数f（x）的周期为2；
在同一坐标系中做出y=f（x）的图象与y=ln|x|的图象，可得其有三个交点，
即函数g（x）=f（x）-ln|x|有3个零点；
故答案为：3

点评 本题考查抽象函数的应用，关键在于根据题意，分析出函数f（x）的解析式以及图象．