Question

9．根据下列条件分别求椭圆的标准方程：
（1）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为$\frac{4}{3}\sqrt{5}$和$\frac{2}{3}\sqrt{5}$，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；
（2）经过两点A（0，2）和$B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，由题意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，解得a．在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得|y|；在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得|x|，进而得出．
（2）设经过两点$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的椭圆标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），代入A、B即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$，
则由题意知$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{5}$，∴$a=\sqrt{5}$．
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令x=±c，得$|y|=\frac{b^2}{a}$，
在方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$中令y=±c，得$|x|=\frac{b^2}{a}$，
依题意并结合图形知$\frac{b^2}{a}=\frac{2}{3}\sqrt{5}$，∴${b^2}=\frac{10}{3}$，
即椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{{3{y^2}}}{10}=1$或$\frac{y^2}{5}+\frac{{3{x^2}}}{10}=1$．
（2）设经过两点$A（0，2），B（\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$的椭圆标准方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
代入A、B可得：$\left\{{\begin{array}{l}{4n=1}\\{\frac{1}{4}m+3n=1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}}\right.$，
故所求椭圆方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．