Question

求证：（

1

2n

）ⁿ+（

3

2n

）ⁿ+…+（

2n-1

2n

）ⁿ＜

e

e-1

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,导数的综合应用,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：设函数f（x）=e^x-x-1，求出导数，讨论当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有x＜0时，f（x）＞f（0）=0，即有1+x＜e^x，则

2n-1

2n

=1-

1

2n

＜e-

1

2n

=(

1

e

)

1

n

，即有（

2n-1

2n

）ⁿ＜

1

e

，同理推出其他项，再运用累加法，对右边运用等比数列求和公式，即可得证．

解答： 证明：设函数f（x）=e^x-x-1，导数f′（x）=e^x-1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x＜0时，f（x）＞f（0）=0，即有1+x＜e^x，
则

2n-1

2n

=1-

1

2n

＜e-

1

2n

=(

1

e

)

1

n

，即有（

2n-1

2n

）ⁿ＜

1

e

，
则有(

2n-3

2n

)n＜（

1

e

）³，(

2n-5

2n

)n＜（

1

e

）⁵，…，(

1

2n

)n＜（

1

e

）^2n-1，
即有（

1

2n

）ⁿ+（

3

2n

）ⁿ+…+（

2n-1

2n

）ⁿ＜(

1

e

)2n-1+(

1

e

)2n-3+…+(

1

e

)5+(

1

e

)3+

1

e

=

1 e (1- 1 en )

1- 1 e

＜

1 e

1- 1 e

=

e

e-1

．
即不等式成立．

点评：本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式的证明方法：运用已知不等式，借助等比数列的求和公式，考查运算能力，属于难题．