题目内容
如图，一条河的两岸是平行线，两岸边各有一个小镇A与B，它们的直线距离为2km，河宽AC=1km，根据规划，需要在两岸间铺设一条电缆线，从A处铺设水下电缆到D处（D为线段BC上的点），再从D处铺设地下电缆到B处，已知铺设水下电缆的费用是铺设地下电缆费用的2倍，记∠ADC=θ．（1）设铺设地下电缆的费用是a元/km，试将该项目工程的总费用y表示成θ的函数；
（2）当θ为何值时，工程的总费用y最低？
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）由题意把|AD|，|DB|用含有θ的代数式表示，然后结合造价得到项目工程的总费用y与θ的函数关系；
（2）把（1）中的函数求导，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．
（2）把（1）中的函数求导，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．
解答：
解：（1）
如图，由题意可知，
≤θ≤
，
∵|AC|=1，|AB|=2，
∴|CB|=
，
|CD|=cotθ，|AD|=
=cscθ，|BD|=
-cotθ，
∵铺设地下电缆的费用是a元/km，
则铺设水下电缆的费用是2a元/km，
∴y=2acscθ+a（
-cotθ）=a(
-
+
)，
≤θ≤
，
（2）由y=a(
-
+
)，
≤θ≤
，
得y′=a(
-
)=
，
由y′=0，得1-2cosθ=0，
∴cosθ=
，θ=
．
当
＜θ＜
时，y′0，
∴当θ=
时y有最小值，即工程的总费用最低．
如图，由题意可知，| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∵|AC|=1，|AB|=2，
∴|CB|=
| 3 |
|CD|=cotθ，|AD|=
| 1+cot2θ |
| 3 |
∵铺设地下电缆的费用是a元/km，
则铺设水下电缆的费用是2a元/km，
∴y=2acscθ+a（
| 3 |
| 2 |
| sinθ |
| cosθ |
| sinθ |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（2）由y=a(
| 2 |
| sinθ |
| cosθ |
| sinθ |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得y′=a(
| -2cosθ |
| sin2θ |
| -sin2θ-cos2θ |
| sin2θ |
| a(1-2cosθ) |
| sin2θ |
由y′=0，得1-2cosθ=0，
∴cosθ=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
当
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴当θ=
| π |
| 3 |
点评：本题是应用题，考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．
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