Question

19．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≤0\\ x+2y-8≤0\\ x≥0\end{array}\right.$，则z=3x+y的取值范围是[1，9]．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值与最大值．

解答 解：作出不等式对应的平面区域如图，
由z=3x+y，得y=-3x+z，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=-3x+z的截距最小，
此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，
平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点B时，直线y=-3x+z的截距最大，
此时z最大．由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x+2y-8=0}\end{array}\right.$，解得B（2，3）
此时z的最大值为z=2×3+3=9，
故答案为：[1，9]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．