Question

14．如图，点列{A_n}，{B_n}分别在某个锐角的两边上，且|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|，A_n≠A_n+2，n∈N^*，|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|，B_n≠B_n+2，n∈N^*（P≠Q表示P与Q不重合）．若d_n=|A_nB_n|，S_n为△A_nB_nB_n+1的面积，则（　　）

• A． {d_n}是等差数列
• B． {d_n²}是等差数列
• C． {S_n}是等差数列
• D． {S_n²}是等差数列

Answer 1

分析 设锐角的顶点为O，再设|OA₁|=a，|OB₁|=c，|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|=b，|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A_nB_nB_n+1的底边B_nB_n+1上的高为h_n，运用三角形相似知识，h_n+h_n+2=2h_n+1，由S_n=$\frac{1}{2}$d•h_n，可得S_n+S_n+2=2S_n+1，进而得到数列{S_n}为等差数列．

解答 解：设锐角的顶点为O，|OA₁|=a，|OB₁|=c，
|A_nA_n+1|=|A_n+1A_n+2|=b，
|B_nB_n+1|=|B_n+1B_n+2|=d，
由于a，c不确定，
则{d_n}不一定是等差数列，
{d_n²}不一定是等差数列，
设△A_nB_nB_n+1的底边B_nB_n+1上的高为h_n，
由三角形的相似可得
$\frac{{h}_{n}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{O{A}_{n}}{O{A}_{n+1}}$=$\frac{a+（n-1）b}{a+nb}$，$\frac{{h}_{n+2}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{O{A}_{n+2}}{O{A}_{n+1}}$=$\frac{a+（n+1）b}{a+nb}$，
两式相加可得，$\frac{{h}_{n}+{h}_{n+2}}{{h}_{n+1}}$=$\frac{2a+2nb}{a+nb}$=2，
即有h_n+h_n+2=2h_n+1，
由S_n=$\frac{1}{2}$d•h_n，可得S_n+S_n+2=2S_n+1，
即为S_n+2-S_n+1=S_n+1-S_n，
则数列{S_n}为等差数列．
故选：C．

点评 本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．