题目内容
设椭圆
+
=1，点B，C分别是其上下顶点，点A在椭圆上且位于第一象限．直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
（1）若
+
=0，求A点坐标；
（2）若△AMN的面积大于△OCN的面积，求直线AB的斜率的取值范围．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（1）若
| AB |
| AM |
（2）若△AMN的面积大于△OCN的面积，求直线AB的斜率的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设M（a，0），可得a的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论；
（2）设直线AB的方程为y=kx+
，求出M，N，A的坐标，表示面积，利用△AMN的面积大于△OCN的面积，建立不等式，即可求直线AB的斜率的取值范围．
（2）设直线AB的方程为y=kx+
| 3 |
解答：
解：（1）椭圆
+
=1，点B，C分别是其上下顶点，
点A在椭圆上且位于第一象限，直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
当
+
=0时，A是线段BM的中点，
设M（a，0），∵B（0，
），∴A（
，
），
∵点A在椭圆上且位于第一象限，
∴
+
=1，解得c=2
，或c=-2
（舍），
∴A（
，
）．
（2）设直线AB的方程为y=kx+
，则M（-
，0）
y=kx+
代入椭圆方程可得A（-
，
），
∴直线AC的方程为y=-
x-
，
∴N（-
，0）
∵△AMN的面积大于△OCN的面积，
∴
（-
+
）×
＞
×（-
）×
，
∴-
＜k＜0．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
点A在椭圆上且位于第一象限，直线AB交x轴于点M，直线AC交x轴于点N．
当
| AB |
| AM |
设M（a，0），∵B（0，
| 3 |
| a |
| 2 |
| ||
| 2 |
∵点A在椭圆上且位于第一象限，
∴
| a2 |
| 16 |
| 3 |
| 12 |
| 3 |
| 3 |
∴A（
| 3 |
| ||
| 2 |
（2）设直线AB的方程为y=kx+
| 3 |
| ||
| k |
y=kx+
| 3 |
8
| ||
| 3+4k2 |
3
| ||||
| 3+4k2 |
∴直线AC的方程为y=-
| 3 |
| 4k |
| 3 |
∴N（-
4
| ||
| 3 |
∵△AMN的面积大于△OCN的面积，
∴
| 1 |
| 2 |
| ||
| k |
4
| ||
| 3 |
3
| ||||
| 3+4k2 |
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
| 3 |
∴-
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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