Question

某企业生产一种产品，日产量基本保持在1万件到10万件之间，由于受技术水平等因素的影响，会产生一些次品，根据统计分析，其次品率P（次品率=

日生产次品数

日生产量

）与日产量x（万件）之间基本满足关系：P=

1 50 x   (1≤x≤5) 1 250 x2- 1 25 x+ 1 5   (5＜x≤10)

，目前，每生产1万件合格的产品可以盈利10万元，但每生产1万件次品将亏损40万元．
（1）试将生产这种产品每天的盈利额T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
（2）问当生产这种产品的日产量x约为多少时（精确到0.1万件），企业可获得最大利润？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：对第（1）问，由次品率=

日生产次品数

日生产量

，得日生产次品数为xp，从而合格产品数为x-xp，再由每天的最终盈利额=合格产品盈利额-次品亏损额，可得T与x的函数关系式；
对第（2）问，对1≤x≤5及5＜x≤10进行讨论，根据各自表达式的特点分别求出函数获得最大值时x的值，通过比较函数的两个最大值，即可知对应x的值．

解答： 解：（1）设盈利额T（万元）关于日产量x（万件）的函数为T（x），
则T（x）=x•（1-P）×10-x•P×40=x（10-50P）．
当1≤x≤5时，T(x)=x(10-50×

1

50

x)=-x²+10x；
当5＜x≤10时，T(x)=x[10-50(

1

250

x2-

1

25

x+

1

5

)]，
即T（x）=

-x2+10x(1 ≤ x ≤ 5) - 1 5 x3+2x2   (5＜x ≤ 10).

（2）当1≤x≤5时，T（x）_max=T（5）=25；   
当5＜x≤10时，由T（x）得T′(x)=-

3

5

x2+4x，
令T'（x）=0，得x=

20

3

（x=0舍去）．当x变化时，f（x）及f'（x）的变化情况如下表所示：

x	(5， 20 3 )	20 3	( 20 3 ，10)
T'（x）	+	0	-
T（x）	↗		↘

∵T（x）的图象在（5，10]上连续，
∴T（x）在（5，10]上的最大值为T(x)max=T(

20

3

)=

800

27

．      
∵25＜

800

27

，∴当x=

20

3

≈6.7时，T（x）在[1，10]上取得最大值．  
答：当生产这种产品的日产量约为6.7万件时，企业可获得最大利润．

点评：1．本题的函数关系式实际上涉及到分段函数与复合函数的综合，考虑函数的复合规则时应分段处理，这体现了分类讨论的思想．
2．本题还考查了导数在函数最值问题中的应用，求解时必须考虑问题的实际情况，比如自变量的取值应使得实际问题有意义．
3．求解函数应用题的一般步骤：
（1）理解题意；
（2）建立函数关系式；
（3）根据关系式求解相关问题，必要时应检验．