题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为 B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e．
（l）若|A1B1|=
，设四边形B1F1B2F2的面积为S1，四边形A1B1A2B2的面积为S2，且S1=
S2，求椭圆C的方程；
（2）若F2（3，0），设直线y=kx与椭圆C相交于P，Q两点，M，N分别为线段PF2，QF2的中点，坐标原点O在MN为直径的圆上，且
＜e≤
，求实数k的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（l）若|A1B1|=
| 15 |
| ||
| 2 |
（2）若F2（3，0），设直线y=kx与椭圆C相交于P，Q两点，M，N分别为线段PF2，QF2的中点，坐标原点O在MN为直径的圆上，且
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由|A1B1|=
，可得a2+b2=15，由S1=
S2，可得2c=
a，联立
，解得即可；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆的方程联可得根与系数的关系．由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，可得PF2⊥QF2，利用
•
=0，可得k与a的关系，利用
＜e≤
，可得12≤a2＜18，即可得出k的取值范围．
| 15 |
| ||
| 2 |
| 3 |
|
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程与椭圆的方程联可得根与系数的关系．由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，可得PF2⊥QF2，利用
| F2P |
| F2Q |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
解答：
解：（1）∵|A1B1|=
，∴a2+b2=15，
由S1=
S2，可得2bc=
×2ab，化为2c=
a，
联立
，
解得a2=12，b2=3，c=3．
∴椭圆C的方程为
+
=1．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
，化为（b2+a2k2）x2=a2b2，
∴x1+x2=0，x1x2=
．
由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，
∴PF2⊥QF2，而
=（x1-3，y1），
=（x2-3，y2），
∴
•
=（x1-3）•（x2-3）+y1y2=（1+k2）x1x2+9=0，
即
+9=0，
∴k2=-1-
，
∵
＜e≤
，
∴12≤a2＜18，可得k2≥
，
∴k∈(-∞，-
]∪[
，+∞)．
| 15 |
由S1=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
联立
|
解得a2=12，b2=3，c=3．
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 3 |
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立
|
∴x1+x2=0，x1x2=
| -a2b2 |
| b2+a2k2 |
由题意可知：OM⊥ON，且OMF2N为矩形，
∴PF2⊥QF2，而
| F2P |
| F2Q |
∴
| F2P |
| F2Q |
即
| -a2(a2-9)(1+k2) |
| a2k2+(a2-9) |
∴k2=-1-
| 81 |
| a4-18a2 |
∵
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴12≤a2＜18，可得k2≥
| 1 |
| 8 |
∴k∈(-∞，-
| ||
| 4 |
| ||
| 4 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、矩形的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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