题目内容
已知函数f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π），在x=
时取得最大值4．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若f（
α+
）=
，求cos2α的值．
| π |
| 12 |
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若f（
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 12 |
| 5 |
考点：三角函数的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由f （x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为
，求得f （x）的最小正周期．
（2）由f （x）有最大值求得A，由最高点的坐标求得φ的值，可得f （x）的解析式．
（3）化简f（
α+
）的解析式为4cos2α，再由f（
α+
）=
，求得cos2α的值．
| 2π |
| ω |
（2）由f （x）有最大值求得A，由最高点的坐标求得φ的值，可得f （x）的解析式．
（3）化简f（
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 12 |
| 5 |
解答：
解：（1）∵f （x）=Asin（3x+φ），∴T=
，即f （x）的最小正周期为
．
（2）∵当x=
时，f （x）有最大值4，∴A=4．
∴4=4sin（3×
+φ），∴sin（
+φ）=1．
即
+φ=2kπ+
，得：φ=2kπ+
（k∈Z）．
∵0＜φ＜π，∴φ=
，∴f （x）=4sin（3x+
）．
（3）∵f（
α+
）=4sin[3（
+
）+
]=4sin（2α+
）=4cos2α=
，
∴cos2α=
．
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
（2）∵当x=
| π |
| 12 |
∴4=4sin（3×
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
即
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
∵0＜φ＜π，∴φ=
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（3）∵f（
| 2 |
| 3 |
| π |
| 12 |
| 2α |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 12 |
| 5 |
∴cos2α=
| 3 |
| 5 |
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目