Question

12．过点M（-2，0）的直线l与圆x²+y²=1交于A、B两点，则线段AB的中点P的轨迹的长度为2π．

Answer 1

分析 联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式得到点M的轨迹，再由圆的周长得答案．

解答 解：联立y=k（x+2）与圆x²+y²=1，消去y得：（1+k²）x²+4k²x+4k²-1=0．
由△=（4k²）²-4（1+k²）（4k²-1）=4-12k²＞0，得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则x=-$\frac{2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，y=$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$．
消去k得：x²+y²=-2x，即（x+1）²+y²=1．
则点M的轨迹是以（-1，0）为圆心，以1为半径的圆，其长度为2π．
故答案为：2π．

点评 本题考查了轨迹方程的求法，考查了消参法求曲线的轨迹方程，是中档题．