Question

7．y=$\frac{2{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$的最大值是6．

Answer 1

分析 分离常数法化简y=$\frac{2{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$=2+$\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$，再用配方法化简y=2+$\frac{3}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，从而求最大值．

解答 解：y=$\frac{2{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$
=2+$\frac{3}{{x}^{2}+x+1}$
=2+$\frac{3}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵$（x+\frac{1}{2}）^{2}$≥0，
∴$（x+\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤4，
∴2+$\frac{3}{（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$≤6，
故答案为：6．

点评 本题考查了分离常数法与配方法在求函数的最值时的应用．