椭圆的中心在坐标原点.焦点在x轴上.左右顶点分别为A1.A2.上下顶点分别为B1.B2.F2为右焦点.延长B2F2与A2B1交于点P.若∠B2PA2为钝角.则该椭圆离心率的取值范围是( )A．$({\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}.0})$B．$({0.\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}})$C．$({0.\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}})$D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左右顶点分别为A₁、A₂，上下顶点分别为B₁、B₂，F₂为右焦点，延长B₂F₂与A₂B₁交于点P，若∠B₂PA₂为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A．

$（{\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}，0}）$

B．

$（{0，\frac{{\sqrt{5}-2}}{2}}）$

C．

$（{0，\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}}）$

D．

$（{\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}，1}）$

分析由题意画出图形，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，再由∠B₂PA₂为钝角，可得$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夹角为锐角，利用数量积大于0，结合隐含条件可得椭圆离心率的取值范围．

解答解：如图所示，∠B₁PB₂为$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夹角．
设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，
$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$=（-a，b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$=（-c，-b），
∵∠B₂PA₂为钝角，
∴$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$与$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$的夹角为锐角，
∴$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}•\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{2}}$=ac-b²＞0，
又∵b²=a²-c²，
∴a²-ac-c²＜0．
两边除以a²得1-e-e²＜0，
即e²+e-1＞0，
解得e＜$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍）或e＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜1．
故选：D．