Question

若点O为△ABC的外心，AB=2m，AC=

2

m

（m＞0），∠BAC=120°，且

AO

=x

AB

+y

AC

（x、y为实数），则x+y的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，

AB

•

AC

=2m•

2

m

•cos120°=-2．由

AO

=x

AB

+y

AC

（x、y为实数），分别作数量积可得

AO

•

AB

=x

AB

2+y

AC

•

AB

，

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+y

AC

2，化简解出x，y（用m表示），再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：如图所示，

AB

•

AC

=2m•

2

m

•cos120°=-2．
∵

AO

=x

AB

+y

AC

（x、y为实数），
∴

AO

•

AB

=x

AB

2+y

AC

•

AB

，

AO

•

AC

=x

AB

•

AC

+y

AC

2，
∴

1

2

AB

2=x

AB

2-2y，

1

2

AC

2=-2x+y

AC

2，
∴

1

2

×(2m)2=x(2m)2-2y，

1

2

(

2

m

)2=-2x+y(

2

m

)2，
解得y=

2+m2

3

，x=

2m2+1

3m2

．
∴x+y=

1

3

(m2+

1

m2

)+

4

3

≥

1

3

×2

m2× 1 m2

+

4

3

=2．当且仅当m=1时取等号．
∴x+y的最小值是2．
故答案为：2．

点评：本题考查了三角形的外心的性质、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．