Question

已知函数f（x）=

3

sinωxsin（

π

2

+ωx）-cos²ωx-

1

2

（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

7

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA）与向量

n

=（3，sinB）共线，求a，b的值．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-1，由其图象两相邻对称轴间的距离为

π

2

，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C-

π

6

）=1，解得C=

π

3

，由已知

m

∥

n

可得b-3a=0①，由余弦定理，又已知c=

7

，即可解得7=a²+b²-ab②，联立方程可解得a，b的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωxsin（

π

2

+ωx）-cos²ωx-

1

2

=

3

sinωxcosωx-

1+cos2ωx

2

-

1

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-1
=sin（2ωx-

π

6

）-1
∵其图象两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
∴最小正周期为T=π，
∴ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x-

π

6

）-1
∴sin（2C-

π

6

）=1
∵0＜C＜π，
∴-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，
∴2C-

π

6

=

π

2

，
即C=

π

3

由已知

m

∥

n

可得sinB-3sinA=0，
在△ABC中，由正弦定理可得b-3a=0①
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
又已知c=

7

∴7=a²+b²-ab②
由①②联立，可解得：a=1，b=3．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．