Question

已知函数f（x）=cosx（sinx-

3

cosx）+

3

2

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和函数的单调区间．
（Ⅱ）利用函数的定义域直接求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosx（sinx-

3

cosx）+

3

2

=cosxsinx-

3

cos²x）+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x
=sin(2x-

π

3

)
所以函数f（x）的最小正周期为：T=

2π

2

=π
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ
所以函数的单调递减区间为：[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）
（Ⅱ）由于：0≤x≤

π

2

所以：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

则：-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1
函数f（x）的最大值为1，函数的最小值为-

3

2

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期和单调性的应用，利用函数的定义域求函数的值域．属于基础题型．