Question

已知函数f（x）=-x²+ax定义在区间[0，1]上的函数列，f_n（x）（n=1，2，3，…）满足f₁（x）=4f（x），f_n+1=f₁（f_n（x））（n=1，2，3，…），且f_n（x）在[0，1]上的最大值为1，最小值为0．
（1）设f_n（x）在[0，1]上取得最大值时x的值的个数为a_n，求实数a的值；
（2）数列{a_n}的前n项的和为S_n，求S_n的解析式．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意根据归纳推理得出a₁=1，a₂=2，a₃=4，…a_n=2^n-1，
（2）利用等比数列求和公式解得即可．

解答： 解：（1）由由题意得f₁（x）=4f（x）=-4x²+4ax，
∴f1′(x)=-8x+4a=0时，x=

a

2

，
∴f₁（0）=0，f₁（1）=-4+4a，f1(

a

2

)=a²，
∵f₁（x）在[0，1]上的最大值为1，最小值为0．
∴最大值为：a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
∴f₁（x）=-4x²+4x，当x=

1

2

时取得最大值1，则a₁=1，
又f_n+1=f₁（f_n（x）），
∴f₂=f₁（f₁（x））=-4（f₁（x））²+4f₁（x）=1，
∴f₁（x）=-4x²+4x，方程有两个解x₁，x₂，（如图）A，B横坐标，则a₂=2，

由f₃=f₁（f₂（x））=f₁（f₁（f₁（x）））=1，
∴f₁（f₁（x））=

1

2

，∴f₁（x）=x₁，或f₁（x）=x₂，
∴-4x²+4x=x₁或-4x²+4x=x₂可解得4个解，如图DEFG横坐标，则a₃=4，
同理f_n（x）在[0，1]上取得最大值时x的值的个数为a_n=2^n-1．
（2）s_n=1+2+4+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

点评：本题主要考查利用递推公式求数列的通项公式及等比数列求和知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．