Question

已知关于x的不等式（log₂x）²-2log₂x-3）≤0的解集为M．
（1）求集合M；
（2）若x∈M，求函数f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）的最值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接求解关于log₂x的一元二次不等式得log₂x的范围，进一步求解对数不等式得答案；
（2）把已知的函数展开，换元后利用配方法求最值．

解答： 解：（1）由（log₂x）²-2log₂x-3≤0，得
-1≤log₂x≤3，即

1

2

≤x≤8．
∴M=[

1

2

，8]；
（2）f（x）=[log₂（2x）]•（log₂

x

32

）
=(1+log2x)(log2x-5)=(l0g2x)2-4log2x-5．
设t=log₂x，t∈[-1，3]，f（t）=t²-4t-5．
当t=2时，即x=4时，f（x）_min=-9；
当t=-1时，即x=

1

2

时，f（x）_max=0．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了复合函数值域的求法，训练了配方法，是中档题．