Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

2

+

y2

4

=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足

PF1

•

PF2

=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，
（1）求点P坐标；
（2）求证：直线AB的斜率为定值；
（3）求△PAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的两焦点坐标，设P（x，y），（x＞0，y＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P的坐标；
（2）设出直线PA，PB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理，即可解得A，B的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；
（3）设出直线AB的方程，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．

解答： （1）解：F₁，F₂是椭圆

x2

2

+

y2

4

=1的两焦点，
则c=

4-2

=

2

，即有F₁（0，

2

），F₂（0，-

2

），设P（x，y），（x＞0，y＞0），
则由

PF1

•

PF2

=1，得x²+y²=3，又

x2

2

+

y2

4

=1，解得，x=1，y=

2

．
则有点P的坐标为(1，

2

)；
（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，
设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为y-

2

=k(x-1)，
由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，则直线PA：y-

2

=-k（x-1）．
由

y- 2 =k(x-1) x2 2 + y2 4 =1

，消去y，得(2+k2)x2+2k(

2

-k)x+(

2

-k)2-4=0，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），由韦达定理，得1+x_B=

-2k( 2 -k)

2+k2

，
即有xB=

k2-2 2 k-2

2+k2

，y_B=

2 2 - 2 k2-4k

2+k2

同理可得xA=

k2+2 2 k-2

2+k2

，y_A=

2 2 - 2 k2+4k

2+k2

，
所以kAB=

yA-yB

xA-xB

=

2

为定值．
（3）解：由（2）可设直线AB的方程为y=

2

x+m，
联立方程，得

y= 2 x+m x2 2 + y2 4 =1

，消去y，得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由判别式8m²-16（m²-4）＞0，得m∈(-2

2

，2

2

)，x₁+x₂=-

2

2

m，x₁x₂=

m2-4

4

，
|AB|=

(1+2)((x1+x2)2-4x1x2)

=

3( 1 2 m2-m2+4)

易知点P到直线AB的距离为d=

|m|

3

，
所以S△PAB=

1

2

|AB|•d=

1 8 m 2(8-m2)

≤

2

，
当且仅当m=±2时取等号，满足m∈(-2

2

，2

2

)，
所以△PAB面积的最大值为

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查平面向量的数量积的坐标该函数，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，和弦长公式解题，考查直线的斜率和方程的运用，同时考查点到直线的距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．