题目内容
如图，在四面体ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面体所得截面为EFGH．（1）若AB=CD=a，求证：截面EFGH为平行四边形且周长为定值．
（2）如果AB与CD所成角为θ，AB=a，CD=b是定值，当E在AC何处时？截面EFGH的面积最大，最大值是多少？
（3）若AB到平面的距离为d1，CD到平面的距离为d2，且
| d1 |
| d2 |
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）利用线面平行的判定与性质，证出EF∥GH且EH∥FG，从而得到四边形EGFH的两组对边分别平行，即四边形EFGH为平行四边形．
（2）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
（3）把两个图形的体积表示出来求其体积之比即可．
（2）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
（3）把两个图形的体积表示出来求其体积之比即可．
解答：
（1）证明：∵AB∥平面EFGH，AB?平面CAB，平面CAB∩平面EFGH=EF
∴AB∥EF．同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四边形EFGH为平行四边形． …（2分）
且BA=DC=a，∴
=
①，
=
②，
则①+②得，
+
=
+
=1
∵BA=DC=a，
∴EF+EH=a，
∴四边形EFGH的周长=2a，
故四边形EFGH的周长为定值． …（4分）
（2）∵BA与DC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH为平行四边形，令
=λ(0＜λ＜1)，
∴
=
⇒EH=
b=(1-λ)b
=
⇒EF=
a=λa
SEFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴当λ=
时，即E为AC中点时，截面EFGH面积最大，最大值为
absinθ…（7分）
（3）解：设A到平面DBC的距离为h．
在△ABC中，∵AE：EC=d1：d3，
∴S△ABF：S△AEF：S△CEF=(d12+d1d2)：d1d2：d22
∴
=
=
，
又∵VG-AEF=VG-AEH，VG-ABF=VA-BEG=
S△BFG•h，
∴VABEFGH=
S△BFG•h+
•
S△BFG•h．
∴AB∥EF．同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
∴四边形EFGH为平行四边形． …（2分）
且BA=DC=a，∴
| EH |
| CD |
| AE |
| AC |
| EF |
| AB |
| CE |
| AC |
则①+②得，
| EH |
| CD |
| EF |
| AB |
| AE |
| AC |
| CE |
| AC |
∵BA=DC=a，
∴EF+EH=a，
∴四边形EFGH的周长=2a，
故四边形EFGH的周长为定值． …（4分）
（2）∵BA与DC所成角为θ，
∴平行四边形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
∵EFGH为平行四边形，令
| CE |
| CA |
∴
| EH |
| b |
| AE |
| AC |
| AE |
| AC |
| EF |
| a |
| CE |
| AC |
| CE |
| AC |
SEFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
∴当λ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（3）解：设A到平面DBC的距离为h．
在△ABC中，∵AE：EC=d1：d3，
∴S△ABF：S△AEF：S△CEF=(d12+d1d2)：d1d2：d22
∴
| VG-AEF |
| VG-ABF |
| d1d2 |
| d12+d1d2 |
| d2 |
| d1+d2 |
又∵VG-AEF=VG-AEH，VG-ABF=VA-BEG=
| 1 |
| 3 |
∴VABEFGH=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| d2 |
| d1+d2 |
点评：考查线面垂直的性质，余弦定理，线面平行的性质定理，以及平行线分线段成比例，基本不等式：a+b≥2
，a＞0，b＞0．
| ab |
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