Question

有下列命题：
①双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点；
②“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”必要不充分条件；
③若

a

、

b

共线，则

a

、

b

所在的直线平行；
④?x∈R，x²-3x+3≠0．
其中是真命题的有：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题可以利用椭圆方程、不等式化简、向量的几何意义等知识对4个命题分别进行判断，确定其真假，得到本题结论．

解答： 解：关于命题①
∵双曲线

x2

25

-

y2

9

=1中，a²=25，b²=9
∴c²=a²+b²=34，c=

34

．
∴双曲线

x2

25

-

y2

9

=1的焦点坐标为(±

34

，0)．
∵椭圆

x2

35

+y²=1中，a′²=35，b′²=1，
∴c′²=a′²-b′²=35-1=34，c′=

34

．
∴椭圆

x2

35

+y²=1的焦点坐标为(±

34

，0)．
∴双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y²=1有相同的焦点．
故命题①正确；
关于命题②
∵2x²-5x-3＜0，
?（2x+1）（x-3）＜0，
?-

1

2

＜x＜3．
又∵“-

1

2

＜x＜0”⇒“-

1

2

＜x＜3”，反之不成立，
∴“-

1

2

＜x＜0”是“2x²-5x-3＜0”充分不必要条件；
故命题②错误；
关于命题③
若

a

、

b

共线，
则

a

∥

b

．
∴

a

、

b

所在的直线平行或者共线，
故命题③错误；
关于命题④
?x∈R，
x²-3x+3=(x-

3

2

)2+3-

9

4

=(x-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

，
∴x²-3x+3≠0，
故命题④正确．
综上，正确的命题有：①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了椭圆方程、不等式化简、向量的几何意义等知识，本题难度适中，属于中档题．