Question

函数y=f（x）定义域为R，其图象是连续不断的，若存在非零实数k使得f（x+k）+kf（x）=0对任意x∈R恒成立，称y=f（x）是一个“k阶伴随函数”，k称函数y=f（x）的“伴随值”．下列结论正确的是

 

①k=-1是任意常数函数f（x）=c（c为常数）的“伴随值”；
②f（x）=x²是一个“k阶伴随函数”；
③“1阶伴随函数”y=f（x）是周期函数，且1是函数y=f（x）的一个周期；
④f（x）=sin（πx+

π

3

）是一个“k阶伴随函数”；
⑤任意“k（k＞0）阶伴随函数”y=f（x）一定存在零点．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,阅读型,函数的性质及应用

分析：①f（x-1）-f（x）=c-c=0，
②f（x+k）+kf（x）=（x+k）²+kx²=0，则（1+k）x²+2kx+k²=0对任意x∈R恒成立，则

1+k=0 2k=0 k2=0

，无解；
③由f（x+1）+f（x）=0可得f（x）=-f（x+1）=f（x+2）；
④由sin（π+a）=-sina可推出f（x+1）+f（x）=0，
⑤由f（x+k）+kf（x）=0对任意x∈R恒成立，且k＞0可得f（x+k）=f（x）=0，或f（x+k）•f（x）＜0．

解答： 解：若f（x）=c（c为常数），k=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，故①正确；
若f（x+k）+kf（x）=（x+k）²+kx²=0，
则（1+k）x²+2kx+k²=0对任意x∈R恒成立，则

1+k=0 2k=0 k2=0

，无解；故②错误；
由y=f（x）是“1阶伴随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，
则f（x）=-f（x+1）=f（x+2），则2是函数y=f（x）的一个周期，故③错误；
∵f（x+1）=sin（π（x+1）+

π

3

）=-sin（πx+

π

3

）=-f（x），
∴f（x+1）+f（x）=0，
∴f（x）=sin（πx+

π

3

）是一个“1阶伴随函数”；故④正确；
∵f（x+k）+kf（x）=0对任意x∈R恒成立，且k＞0，
∴f（x+k）=f（x）=0，或f（x+k）•f（x）＜0，
又∵函数y=f（x）定义域为R，其图象是连续不断的，
∴y=f（x）一定存在零点，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了学生对新知识的接受能力及转化能力，属于中档题．