Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式．
（2）画出函数的图象．
（3）根据图象求函数在区间[-1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，利用f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，求出a，b，c，即可求f（x）的解析式．
（2）确定对称轴、顶点，可得函数的图象．
（3）根据图象求函数在区间[-1，2]上的最大值．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．---------（2分）
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．------------------------（4分）
即2ax+a+b=2x，所以

2a=2 a+b=0

，∴

a=1 b=-1

，∴f（x）=x²-x+1．-------------（6分）
（2）图象如图---------------------------------（9分）
（3）由图象得函数在[-1，2]的最大值是3--------------------（12分）

点评：本题考查函数的解析式，考查二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．