Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-2x+1，
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若对?x∈[-2，3]，都有s≥f（x）恒成立，求出s的范围；
（3）?x₀∈[-2，3]，有m≥f（x₀）成立，求出m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求函数的极值即可；
（2）由题意可得只要s≥f（x）_max即可，利用导数求得函数f（x）的最大值即可；
（3）由题意可得只要m≥f（x）_min，利用导数求出函数f（x）的最小值即可得出结论．

解答： 解：f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	13 6	递减	- 7 3	递增

因此极大值是

13

6

，极小值是-

7

3

．
（2）f（-2）=

1

3

，f（3）=-

1

2

，
因此在区间[-2，3]的最大值是

13

6

，最小值是-

7

3

，∴s≥

13

6

．
（3）由（2）得：m≥-

7

3

．

点评：本题只要考查利用导数研究函数的极值及最值等知识，以及恒成立问题的等价转化思想的运用能力，属于中档题．