Question

16．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{1}{3}$，且对任意m，n∈N*，a_m+n=a_m•a_n，若S_n＜a恒成立，则a的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1化简后，由等比数列的定义确定此数列是等比数列，利用等比数列的前n项和的公式表示出S_n，利用极限思想和条件求出满足条件a的范围，再求出a的最小值

解答 解：由题意得，对任意正整数m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a₁=$\frac{1}{3}$，
则数列{a_n}是首项、公比都为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$）ⁿ＜$\frac{1}{2}$，
因为S_n＜a对任意n∈N*恒成立，所以a≥$\frac{1}{2}$，则实数a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等比数列关系的确定，等比数列的前n项和的公式，以及不等式恒成立问题，属于中档题．