Question

8．设函数f（x）=x³+ax²+bx+5，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知切线的方程可得切点坐标和切线的斜率，求出f（x）的导数，可得切线的斜率，解关于a，b的方程组，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，并分解因式，求出在区间（-3，1）的单调区间和极值，求得f（-3）和f（1），比较即可得到所求最大值．

解答 解：（1）∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1，
∴f（1）=3×1+1=4且切线的斜率为f'（1）=3．
又∵f'（x）=3x²+2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1+a+b+5=4\\ f'（1）=3+2a+b=3\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-4\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知，f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f'（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2）．
令f'（x）=0，则x=-2或$x=\frac{2}{3}$，
列表：

x	-3	（-3，-2）	-2	$（-2，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1）$	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	递增	极大	递减	极小	递增	4

∵f（-3）=-27+18+12+5=8，f（-2）=-8+8+8+5=13，f（1）=1+2-4+5=4，
∴f（x）_max=f（-2）=13．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于中档题．