Question

7．证明下列不等式：
（1）$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞$2\sqrt{2}+\sqrt{5}$            
（2）${a}^{2}+{b}^{2}+3≥ab+\sqrt{3}（a+b）$．

Answer 1

分析 （1）采用分析法，两边平方，移项，即可证明不等式成；
（2）根据基本不等式的性质a²+b²≥2ab，${a^2}+3≥2\sqrt{3}a$，${b^2}+3≥2\sqrt{3}b$，以上各式相加即可求证不等式成立．

解答 证明：（1）要证不等式$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞$2\sqrt{2}+\sqrt{5}$ 成立，
只需证（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）²＞（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$）²，------2
即证$2\sqrt{42}＞2\sqrt{40}$，
即正$\sqrt{42}$＞$\sqrt{40}$，
即42＞40，-------------------------4
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．------------------------------6
（2）∵a²+b²≥2ab，--------------8
${a^2}+3≥2\sqrt{3}a$，---------10
${b^2}+3≥2\sqrt{3}b$；
将此三式相加得
2$（{a^2}+{b^2}+3）≥2ab+2\sqrt{3}a+2\sqrt{3}b$，
∴${a^2}+{b^2}+3≥ab+\sqrt{3}（a+b）$．--------12

点评 本题考查基本不等式的性质，考查“分析法”证明不等式成立，考查计算能力，属于中档题．