Question

4．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求r的值．

Answer 1

分析 由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1．展开可得：$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，利用互化公式可得直线l的直角坐标方程．C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．利用平方关系可得：圆C的直角坐标方程为：x²+y²=r²．利用直线和曲线相切的性质即可得出．

解答 解：由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=1．展开可得：$ρ（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，可得：
　直线l的直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-2=0，…（4分）
圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
圆C的直角坐标方程为：x²+y²=r²．…（8分）
则直线和曲线相切，得r=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=1．…（10分）

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．