Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，-2）处的切线方程；
（Ⅱ）当a≥

1

2

时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-

1-a

x

+1，在函数g（x）的图象上取两定点A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））（x₁＜x₂），设直线AB的斜率为k，证明：存在x₀∈（x₁，x₂），使g′（x₀）=k成立．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式，求出在x=1时的导数，由直线方程的点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，f′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

，再令h（x）=ax²-x+1-a，对a分类分析该二次函数在不同区间内的符号从而得到f′（x）在不同区间内的符号，进一步得到原函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）把f（x）的解析式代入g（x）=f（x）-

1-a

x

+1，由两点式写出AB的斜率k，构造函数φ（x）=g′（x₀）-k，求解φ（x₁），φ（x₂）的值，然后求导分析函数F（t）=t-1-lnt的单调性，进一步分析得到F（t）的符号，从而得到φ（x₁）＞0，φ（x₂）＜0，由函数φ（x）在区间（x₁，x₂）上的图象是连续不断的一条曲线，说明存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，∴g′（x₀）=k成立．

解答： （Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=lnx-x-1，f′(x)=

1

x

-1，
∵点（1，-2）在函数图象上，
∴在点（1，-2）的切线斜率为k=f′（1）=0，
∴所求切线方程为y=-2；
（Ⅱ）解：∵f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)，
∴f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈(0，+∞)，
令h（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
当a≥

1

2

时，由f′（x）=0，则ax²-x+1-a=0，解得x1=1，x2=

1

a

-1，
①当a=

1

2

时，x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当

1

2

＜a＜1时，0＜

1

a

-1＜1，
x∈(0，

1

a

-1)时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
x∈(

1

a

-1，1)时，h（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；      
③当a≥1时，由于

1

a

-1≤0，
x∈（0，1）时，h（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
综上所述：
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当

1

2

＜a＜1时，函数f（x）在（0，

1

a

-1）上单调递减，在(

1

a

-1，1)上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当a≥1时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；       
（Ⅲ）证明：由已知得g（x）=lnx-ax，k=

g(x2)-g(x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-a，
令φ（x）=g′(x)-k=

1

x

-

lnx2-lnx1

x2-x1

，
则φ（x₁）=

1

x1

-

lnx2-lnx1

x2-x1

=

1

x2-x1

(

x2

x1

-1-ln

x2

x1

)，
φ（x₂）=

1

x2

-

lnx2-lnx1

x2-x1

=-

1

x2-x1

(

x1

x2

-1-ln

x1

x2

)，
令F（t）=t-1-lnt，则F′(t)=1-

1

t

=

t-1

t

(t＞0)，
当0＜t＜1时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；
当t＞1时，F′（t）＞0，F（t）单调递增．
故当t≠1时，F（t）＞F（1）=0，即t-1-lnt＞0．
从而

x2

x1

-1-ln

x2

x1

＞0，

x1

x2

-1-ln

x1

x2

＞0，
∴φ（x₁）＞0，φ（x₂）＜0．
∵函数φ（x）在区间（x₁，x₂）上的图象是连续不断的一条曲线，
∴存在x₀∈（x₁，x₂），使φ（x₀）=0，
∴g′（x₀）=k成立．

点评：本小题主要考查函数导数的几何意义、函数的单调性与极值、最值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析问题解决问题的能力，考查了分类讨论、数形结合、函数与方程、化归转化的数学思想方法．是高考试卷中的压轴题．