Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求线BP与面PAC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,异面直线及其所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：利用向量法求解：
以点A为坐标原点，射线AD为x轴正半轴，射线AB为y轴正半轴，射线AP为z轴正半轴建立空间直角坐标系．
对于第（1）问，求出平面PAD的一个法向量和平面PCD的一个法向量，要证明两平面垂直，只需说明这两个法向量互相垂直即可；
对于第（2）问，由cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

，可探求AC与PB所成的角的余弦值；
对于第（3）问，先求出平面PAC的一个法向量，再求得此法向量与向量

BP

所成角的余弦值，根据此余弦值与直线BP与面PAC所成角的余弦值的关系可达到目的．

解答： 解：如右图所示，以点A为坐标原点，射线AD为x轴正半轴，射线AB为y轴正半轴，射线AP为z轴正半轴建立空间直角坐标系．
由题中条件得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），

AP

=(0，0，1)，

AB

=(0，2，0)，

DC

=(0，1，0)，

DP

=(-1，0，1)，

AC

=(1，1，0)，

BP

=(0，-2，1)．
（Ⅰ）证明：设向量

n1

=（x₁，y₁，z₁）是平面PDC的法向量，
则由

DC • n1 =0 DP • n1 =0

，得

(0，1，0)•(x1，y1，z1)=0 (-1，0，1)•(x1，y1，z1)=0

，即

y1=0 -x1+z1=0

，
取x₁=1，得

n1

=(1，0，1)，显然向量

AB

是平面PAD的一个法向量，
由

n1

•

AB

=0，知

n1

⊥

AB

，从而平面PAD⊥平面PCD，得证．
（Ⅱ）则cos＜

AC

，

BP

＞=

AC • BP

| AC || BP |

=

-2

2 5

=-

10

5

，又异面直线AC与PB所成角的范围是（0，

π

2

]，
所以直线AC与PB所成角的余弦值为

10

5

．
（Ⅲ）设向量

n2

=(x2，y2，z2)是平面PAC的法向量，则

n2 • AP =0 n2 • AC =0

，
即

(x2，y2，z2)•(0，0，1)=0 (x2，y2，z2)•(1，1，0)=0

，得

z2=0 x2+y2=0

，
取x₂=1，则

n2

=(1，-1，0)，从而cos＜

n2

，

BP

＞=

n2 • BP

| n2 || BP |

=

2

2 × 5

=

2

5

．
设直线BP与平面PAC所成角为θ，则sinθ=

2

5

，从而cosθ=

3

5

=

15

5

，即直线BP与平面PAC所成角的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查了两平面垂直的判定方法，两异面直线所成角的求法及线面角的求法，求解时应注意以下几点：
（1）首先应根据几何体的特点，选择三个两两垂直的方向，建立空间直角坐标系，标出所需的点及向量的坐标，再利用夹角公式进行计算，注意弄清由夹角公式得到的角与所求角的关系；
（2）找平面的法向量是关键，有时可直接观察出平面的法向量，这样可省去一些计算；
（3）坐标法是将严密的逻辑推理转化为坐标运算，一般很少添加其他辅助线，但有时计算繁琐，且易出错．