题目内容
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC．（1）求证：平面DA1C1∥平面B1AC；
（2）求证：B1C⊥BD1．
考点：平面与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）充分利用已知长方体的性质，结合面面平行的判定定理，只要判断DA1∥平面B1AC和A1C1∥平面B1AC即可；
（2）只要证明B1C⊥平面BC1D1，利用线面垂直的性质得到所证．
（2）只要证明B1C⊥平面BC1D1，利用线面垂直的性质得到所证．
解答：
证明：（1）∵四边形A1B1CD为平行四边形，∴DA1∥CB1…（1分）
∵CB1?平面B1AC，DA1?平面B1AC，∴DA1∥平面B1AC…（2分）
∵四边形A1C1CA为平行四边形，∴A1C1∥CA…（3分）
∵CA?平面B1AC，A1C1?平面B1AC∴A1C1∥平面B1AC…（4分）
∵DA1，A1C1是平面DA1C1内的两条相交直线 …（5分）
∴平面DA1C1∥平面B1AC…（6分）
（2）连接BC1，∵BB1=BC，∴在正方形BCC1B1中，B1C⊥BC1…（7分）
∵D1C1⊥平面BCC1B1∴B1C⊥D1C1…（9分）
∵BC1，D1C1是平面BC1D1内的两条相交直线
∴B1C⊥平面BC1D1…（11分）
∵BD1?平面BC1D1
∴B1C⊥BD1…（12分）
∵CB1?平面B1AC，DA1?平面B1AC，∴DA1∥平面B1AC…（2分）
∵四边形A1C1CA为平行四边形，∴A1C1∥CA…（3分）
∵CA?平面B1AC，A1C1?平面B1AC∴A1C1∥平面B1AC…（4分）
∵DA1，A1C1是平面DA1C1内的两条相交直线 …（5分）
∴平面DA1C1∥平面B1AC…（6分）
（2）连接BC1，∵BB1=BC，∴在正方形BCC1B1中，B1C⊥BC1…（7分）
∵D1C1⊥平面BCC1B1∴B1C⊥D1C1…（9分）
∵BC1，D1C1是平面BC1D1内的两条相交直线
∴B1C⊥平面BC1D1…（11分）
∵BD1?平面BC1D1
∴B1C⊥BD1…（12分）
点评：本题考查了长方体中面面平行的判定和线线垂直的判定，关键是准确利用长方体的性质结合面面平行的判定定理解答，属于基础题．
练习册系列答案
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a3．
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