Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+

π

4

），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=log₂（a_n+1），设T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

，若T_n＞m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（1）由α为锐角，且tanα=

2

-1可求得tan2α=1，2α=

π

4

，sin（2α+

π

4

）=1，从而求出函数f（x）的表达式；
（2）由（1）知，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1可推出a_n+1+1=2（a_n+1），又由a₁=1，则数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而求出a_n+1=2ⁿ，进而可得b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，代入可得T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+

1

3+n

+…+

1

2n

，可证明T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，从而求若T_n＞m对n≥2恒成立化为T₂＞m，从而求解．

解答： 解：（1）∵tanα=

2

-1，
∴tan2α=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
又∵α为锐角，
∴2α=

π

4

，
∴sin（2α+

π

4

）=sin

π

2

=1，
∴f（x）=2x+1；
（2）∵a₁=1，a_n+1=f（a_n）=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
则b₁=1，b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，
则T_n=

1

b1+n

+

1

b2+n

+…+

1

bn+n

=

1

1+n

+

1

2+n

+

1

3+n

+…+

1

2n

，
T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞0，
则对n≥2，当n=2时，T_n取得最小值，
T₂=

1

1+2

+

1

2+2

=

7

12

，
则m＜

7

12

．

点评：本题考查了三角恒变换及等差等比数列的求法，用到了二倍角公式，构造数列及递增数列的判断，属于中档题．