Question

10．设f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=$\frac{1}{1003}$，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求实数a；
（2）求数列{x_n}的通项公式；
（3）若a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，记c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）$\frac{x}{a（x+2）}$=x有唯一解，?ax²+（2a-1）x=0有唯一解x=0，即可得出a．
（2）x_n+1=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}+2}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}+\frac{1}{2}$，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（3）a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009=2n-1，又b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．可得c_n=a_nb_n=$\frac{3}{2}[（2n-1）-\frac{2n-1}{{3}^{n}}]$，再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）$\frac{x}{a（x+2）}$=x有唯一解，?ax²+（2a-1）x=0有唯一解x=0，∴a=$\frac{1}{2}$．
（2）x_n+1=$\frac{2{x}_{n}}{{x}_{n}+2}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n}}+\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}=\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+2005}{2}$，
∴x_n=$\frac{2}{2005+n}$．
（3）a_n=$\frac{4}{{x}_{n}}$-4009=2n-1，
又b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
∴c_n=a_nb_n=$\frac{3}{2}[（2n-1）-\frac{2n-1}{{3}^{n}}]$，
T₁=1+3+5+…+（2n-1）=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
T₂=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}+$…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{2}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{2}$=$\frac{1}{3}+2（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$2×\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}-\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$，
∴T₂=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．
∴{c_n}的前n项和S_n=$\frac{3}{2}$$（{n}^{2}-1+\frac{n+1}{{3}^{n}}）$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．