Question

18．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到函数g（x）=2cosx，结合范围x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，由余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+$\sqrt{3}$•（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z即可解得f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{6}$，k$π+\frac{π}{3}$]（k∈Z）…6分
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到y=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$），
再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）=2sin（x+$\frac{π}{2}$）=2cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴x=0时，g（x）_max=2，x=$\frac{2π}{3}$时，g（x）_min=-1．
∴函数y=g（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上的值域为：[-1，2]…12分

点评 本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，考查了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于中档题．