Question

20．一个圆经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，进一步求出圆的半径可得圆的方程．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），
∵圆经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的三个顶点，且圆心在x轴上．
当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，
设圆的圆心（a，0），则$\sqrt{{a}^{2}+4}=4-a$，解得a=$\frac{3}{2}$，
圆的半径为：$\frac{5}{2}$，
所求圆的方程为：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$；
当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，
讨论可得圆的方程为：（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．
故答案为：（x$±\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力，是中档题．