Question

20．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：$y=\frac{x^2}{2}+\frac{a}{2}x-{a^2}（{x∈R}）$．
（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）若a=0，动圆圆心M在曲线G上运动，且动圆M过A（0，1），设EF是动圆M在x轴上截得的弦，当圆心M运动时弦长|EF|是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，求经过这三个交点的圆C的一般方程；
（2）由（1）可知圆心$C（{-\frac{a}{2}，\frac{{2-{a^2}}}{2}}）$，设圆心C（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{a}{2}\\ y=\frac{{2-{a^2}}}{2}\end{array}\right.$消去a得到圆心C所在曲线的轨迹方程；
（3）利用勾股定理，计算，即可得出结论．

解答 解：（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，-a²）；
令y=0，则$\frac{x^2}{2}+\frac{a}{2}x-{a^2}=0$，所以x²+ax-2a²=0，
得抛物线与x轴交点是（-2a，0），（a，0）．
设所求圆C的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0
则有$\left\{\begin{array}{l}{a^4}-E{a^2}+F=0\\{a^2}+Da+F=0\\ 4{a^2}+2Da+F=0\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}D=a\\ E={a^2}-2\\ F=-2{a^2}\end{array}\right.$．
所以圆C的方程为x²+y²+ax+（a²-2）y-2a²=0．
（2）由（1）可知圆心$C（{-\frac{a}{2}，\frac{{2-{a^2}}}{2}}）$，
设圆心C（x，y），则有$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{a}{2}\\ y=\frac{{2-{a^2}}}{2}\end{array}\right.$消去a得到y=1-2x²
又a≠0，∴x≠0，所以圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1-2x²（x≠0）．
（3）|EF|为定值2． 
证明如下：若a=0，曲线G：$y=\frac{x^2}{2}$，设M$（{{x_0}，\frac{x_0^2}{2}}）$，
则动圆半径$r=|{MA}|=\sqrt{{{（{{x_0}-0}）}^2}+{{（{\frac{x_0^2}{2}-1}）}^2}}=\sqrt{\frac{x_0^2}{4}+1}$
则$|{EF}|=2\sqrt{{r^2}-{{（{\frac{x_0^2}{2}}）}^2}}=2\sqrt{\frac{x_0^2}{4}+1-\frac{x_0^2}{4}}=2$．

点评 本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．