Question

8．已知定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，若a=f（2），b=$\frac{1}{2}$f（3），c=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$f（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． c＜a＜b
• B． a＜b＜c
• C． b＜a＜c
• D． a＜c＜b

Answer 1

分析 由题意，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，利用已知判断其单调性，利用单调性得到所求．

解答 解：由题意，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，所以g'（x）=$\frac{（x-1）f'（x）-f（x）}{（x-1）^{2}}$，因为当x∈（1，+∞）时，（x-1）f′（x）-f（x）＞0恒成立，
所以g'（x）＞0在x∈（1，+∞）恒成立，所以函数g（x）在x∈（1，+∞）为增函数，又$\sqrt{3}$＜2＜3，
所以g（$\sqrt{3}$）＜g（2）＜g（3）即$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$f（$\sqrt{3}$）＜f（2）＜$\frac{1}{2}$f（3）；所以c＜a＜b；
故选A．

点评 本题考查了构造函数的思想以及利用函数的大小判断函数值的大小；属于中档题．